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哪里能买到莆田鞋正品 Jordan-Wigner 变换

发布时间：2022-05-30 17:49:30 来源：网友自行发布浏览：【大】【中】【小】

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单粒子费米子系统是一个简单两能级系统，只有占据与非占据两个状态。分别用 $\left|\uparrow\right\rangle ,\left|\downarrow\right\rangle$ 表示。对于费米子体系，产生湮灭算符为：

$\begin{eqnarray} c |1\rangle &=& |0\rangle, \\ c^\dagger |0\rangle &=& |1\rangle. \end{eqnarray}$

这样，算符的矩阵表示可以写作：

$\begin{eqnarray} c &=& \left( \begin{array}{cc} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \right)=\sigma^{-}, \\ c^{\dagger} &=& \left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)=\sigma^{+}. \end{eqnarray}$

可以看出费米子湮灭/产生算符和自旋系统中的泡利升/降算符相同。在单粒子希尔伯特空间中，费米子和泡利算符可以互相转化。

量子多体算符/矢量可以看作一些列单体算符/矢量的张量积。如对于一维自旋链，我们可以用单体基矢 $\left|\uparrow\right\rangle ,\left|\downarrow\right\rangle$ 张成整个多体系统的基矢 $\left|\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{N}\right\rangle$ ：

$\left|\psi\right\rangle =\sum_{\left\{ \sigma_{i}\right\} }\psi\left[\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{N}\right]\left|\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{N}\right\rangle,$

$\left|\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{N}\right\rangle =\otimes_{i=1}^{N}\left|\sigma_{i}^{z}\right\rangle$

类似的，多体算符也可以用单体算符张量积表示,如

$\sigma_{i}^{+}=\left(\otimes_{j=1}^{i-1}\mathbb{I}_{j}\right)\otimes\sigma^{+}\otimes\left(\otimes_{j=i+1}^{N}\mathbb{I}_{j}\right)$

这样，对于自旋系统，我们可以用矢量和矩阵直积的方法，将多体问题化为一个 $2^N$ 维线性代数问题。现在回头看费米子系统，类比自旋链，我们想直接通过直积得到费米子的多体产生湮灭算符表示：

$\begin{eqnarray} c_{i}&=&\left(\otimes_{j=1}^{i-1}\mathbb{I}_{j}\right)\otimes \sigma^-\otimes\left(\otimes_{j=i+1}^{N}\mathbb{I}_{j}\right), \\ c_{i}^{\dagger}&=&\left(\otimes_{j=1}^{i-1}\mathbb{I}_{j}\right)\otimes \sigma^+\otimes\left(\otimes_{j=i+1}^{N}\mathbb{I}_{j}\right) \end{eqnarray}$

需要注意的是，多粒子体系中，由于对易关系的要求，这样的直积表示是错误的。费米子要求的对易关系为：

$\left\{ c_{i},c_{j}^{\dagger}\right\} =\delta_{ij},\ \left\{ c_{i},c_{j}\right\} =0.$

可以验证，上述直积表示不满足 $i \ne j$ 时的对易关系。事实上 $i \ne j$ 时的反对易关系蕴含着费米子算符是一个高度非局域算符，而算符的直积表示只适用于局域的算符。举例来说，对一个两费米子体系:

$c_{2}^{\dagger}\left|0,0\right\rangle =\left|0,1\right\rangle,$

$c_{2}^{\dagger}\left|1,0\right\rangle =c_{2}^{\dagger}c_{1}^{\dagger}\left|0,0\right\rangle =-c_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}\left|0,0\right\rangle =-\left|1,1\right\rangle.$

在1处的费米子占据状态会改变作用于2处的费米子算符的结果。为了得到正确的对易关系，我们引入一非局域链算符

$P_{i}=\bigotimes_{j=1}^{i-1} \sigma_{j}^{z} = \bigotimes_{j=1}^{i-1}\left(2c_{j}^{\dagger}c_{j}-1\right).$

从而将费米子算符写为：

$\begin{eqnarray} c_{i} &=& P_{i}\otimes \sigma^-\otimes\left(\otimes_{j=i+1}^{N}\mathbb{I}_{j}\right), \\ c_{i}^{\dagger} &=& P_{i}\otimes \sigma^+\otimes\left(\otimes_{j=i+1}^{N}\mathbb{I}_{j}\right). \end{eqnarray}$

相当与在原来的基础上引入了一条从 $1$ 到 $i$ 的链算符，此链算符保证了费米子算符之间的反对易性。这也自然引出了自旋算符与费米子算符的对应关系：

$\begin{eqnarray} \sigma_{i}^{+} &\leftrightarrow& P_{i} c_{i}^\dagger,\\ \sigma_{i}^{-} &\leftrightarrow& P_{i}c_{i}. \end{eqnarray}$

该对应关系就是 Jordan-Wigner 变换。

横场伊辛模型求解

下面我们用 Jordan-Wigner 变换处理一个经典自旋模型——横场伊辛模型。该模型哈密顿量为：

$\hat{H}=\sum_{i}\sigma_{i}^{x}\sigma_{i+1}^{x}+h\sigma_{i}^{z} .$

经过 Jordan-Wigner 变换后：

$\begin{eqnarray} \sigma_{i}^{x}\sigma_{i+1}^{x} &=& (-c_{i} + c_{i}^{\dagger})(c_{i+1}+c_{i+1}^{\dagger}), \\ \sigma_{i}^{z} &=& 2c_{i}^{\dagger}c_{i}-1, \\ \hat{H} &=& \sum_{i}c_{i}^{\dagger}c_{i+1} + h c_{i}^{\dagger}c_{i} + c_{i}^{\dagger} c_{i+1}^{\dagger}+h.c. \end{eqnarray}$

此哈密顿量称为 Kitaev chain model. 由于平移对称性，做傅里叶变换：

$\begin{eqnarray} c_{l} &=& \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k} e^{+ikl} c_{k}, \\ c_{l}^{\dagger} &=& \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k} e^{-ikl} c_{k}^{\dagger}. \end{eqnarray}$

得到动量空间哈密顿量

$\hat{H} = \sum_{k} \left(\begin{array}{cc} c_{k}^{\dagger} & c_{-k} \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} \cos\left(k\right)+h & -i\sin\left(k\right) \\ i\sin\left(k\right) & -\cos\left(k\right)-h \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} c_{k} \\ c_{-k}^{\dagger} \end{array}\right).$

再对每个小矩阵对角化，就得到了体系的能谱：

$E(k) = \sqrt{(\cos k+h)^{2}+\sin^{2}k} .$

注意横场伊辛模型和变换后的 Kitaev chain 有相同的能谱和相变点，但后者存在对称性保护的拓扑超导相，相应的在边缘会有 Majorana zero mode，但在横场伊辛模型中，该零能模式表现为对称性自发破缺的基态简并。我们看到 Jordan-Wigner 变换对体系的实际上改变了体系的一些物理，这实际上是 Jordan-Wigner 变换的非局域性导致的。

希尔伯特空间上看 Jordan-Wigner 变换

事实上，在希尔伯特空间的角度看， Jordan-Wigner 变换不过是自旋与费米子希尔伯特空间的同构映射：

$T_{JW}: \mathcal H_{spin}\rightarrow \mathcal{H}_{fermion}.$

具体形式为：

$T_{JW} \left|\sigma_{1}^{z},\cdots,\sigma_{N}^{z}\right\rangle _{spin} = \left|n_{1},\cdots,n_{N}\right\rangle _{fermion},$

其中

$n_{i}=\frac{1+\sigma_{i}^{z}}{2}.$

即每个格点上，把自旋 $\left|\uparrow\right\rangle$ 态对应为费米子占据态，而把自旋 $\left|\downarrow\right\rangle$ 态对应为费米子空态。这个变换(在线性空间同构意义下)不改变波函数。只是在两个希尔伯特空间中，“局域”算符的定义发生了改变。在此对应下，费米子产生湮灭算符均是非局域的。

在这个意义上，若我们只考虑体系波函数的结构，(线性代数意义下)自旋和费米的的结果是完全相同的。因此当考虑态的演化，以及考虑态的纠缠时，我们大可将自旋和费米系统视作相同的。然而一些涉及算符局域性的概念，如是否有长程关联，是否有局域的零能激发等，在自旋和费米子体系里有不同的表现，这导致了横场伊辛模型和 Kitaev chain 中对零能模的两种不同物理表现。

参考文献

Nagaosa, Quantum field theory in strongly correlated electronic systems.
Xiao-Gang Wen, Quantum field theory of many-body systems.

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